为什么人类想象不出四维的空间?

作者 / 苗华栋

(多图流量预警)

如果想要生活在三维空间的人理解四维空间,必须运用的工具就是”类推法“和”投影法“。所以在正式进入四维空间前,我们先了解一下这两个工具。因为如果不理解这两个工具,就无法去想象四维空间,所以即使花一些时间提前了解一下,我觉得也是必要的。

类推法和投影法

类推法

因为我们生活在三维空间,想要凭空想象根本不存在的四维空间几乎是不可能的。但我们可以假设身处二维空间,想象看到的三维空间是什么样子(事实上,我们本身就处于三维空间,所以根本无需想象,就能够建立二维空间和三维空间的联系)。然后通过二维空间和三维空间的关系,从而类推出身处在三维空间如何想象四维空间。

打一个比较通俗的例子,我想知道在四维空间中的两个点的距离是多少?虽然代数上有明确的定义,但由于我们无法直观想象四维空间,所以更无法想象两个点的距离如何计算。于是,我尝试用类推法。

二维空间中两个点的距离是 [公式] ,三维空间中两个点的距离是 [公式]

那么我是不是能够推出四维空间中两个点的距离就是 [公式] 呢?

这有点类似于”归纳法“,由简入繁,是我们正确思考和解决问题的方式。

2. 投影法

想要在三维空间中去想象四维空间,必须得能够在三维空间表示出四维空间。而我们的屏幕又只是一个平面,也就是二维空间,想要在这篇文章中解释清楚四维空间,难度更加升级,也就是需要一个二维平面表示出四维物体。

我们先来看下面这个图

大家很容易的可以看出,这是一个立方体,但问题是这是画在一个二维平面上,为什么看到的人可以想象出这是一个三维立方体呢?

如果想要在二维平面上表示出三维物体,必须得有一个从三维到二维的映射关系,而这个映射关系如果类似于眼睛的效果,我们的大脑就能够通过二维平面的图形还原出三维物体。

这是因为眼睛的机理就是将现实中的三维空间投射到视网膜上,这里其实就是三维空间到二维空间的映射,大脑经过长期的进化,可以将二维图像还原成现实中三维空间物体的大小,远近。所以,如果在二维平面上按照视觉效果绘制出来,大脑是可以轻易的将它还原成三维物体的。这也就是我们可以通过上图轻易的想象出一个立方体的原因。

而这里的映射关系我们又叫做投影。

但映射有很多种,很多文章或者视频在介绍四维投影的时候都简单的提了”投影“,但如果不能理解到底是哪一种投影,就无法根据二维平面上的投影去想象出四维物体。

比如下图就是一种”球极投影“,假设球体是透明的,在球的北极放置一个投影点,让光源向平面发光,这样就可以在平面上看到除北极点之外球面上所有点的投影了。

球极投影也是一种投影,但这种投影是一种纯数学运算,我们大脑无法直接的将它还原成三维空间的形状。比如我们将上图的球滚动起来,请试着看看你是否能够根据二维平面上的投影想象出三维球体表面?好像很困难吧,因为生活中基本不需要这种变换,所以我们的大脑也没有这方面的进化,这需要较高的空间想象能力和专门的训练。

所以我们在看到二维平面上的图形时,必须先搞清楚进行的是什么投影,我们才有可能将它还原回来。于是我们看一下上面这个立方体的全景,看看到底是如何投影在二维平面上的?如下图。

可以看到,刚才在二维平面上画的图形其实可以想象成在三维空间中,有一个可以透光的立方体,一束平行光打在上面,在二维平面上投影出来的图形。这也叫”正交投影“(Orth. Projection)。正交投影中,远处的线段和近处的线段如果等长且平行,则投影到二维平面上也是等长且平行的的。

这种投影方式类似于眼睛的效果,但又不完全是。因为眼睛的视觉效果叫做”透视投影“(Projective Projection),是一种近大远小的投影方式。

这时候我们将上面的立方体摆正,如果还采用正交投影的方式,我们会看到一个什么样的图形呢?如下图,我们只能看到一个正方形。

但如果我们采用”透视投影“的方式,看到的就是近大远小的效果(关于透视投影的详细描述,请详见我的另一篇回答《线性代数有什么用?学习线性代数的意义在哪?》 )。如下图,我们假设屏幕是X-Y平面,垂直屏幕向外是Z轴,这张图的视角是在Z轴正上方俯看X-Y平面时立方体的效果图。仿佛在凝望一个长方体的深渊一样。

刚才前面提到,”正交投影“类似于眼睛的效果,但又不完全是。因为”透视投影“会呈现近大远小,但如果立方体的边长相对眼睛到物体的距离比较短时,也就是眼睛对于这种远近的距离可以忽略时,”透视投影“和”正交投影“从视觉效果看就没有什么区别了,我们甚至可以用”正交投影“来代替”透视投影“。

这也就是我们即使没有用眼睛的实际视觉效果”透视投影“,而用”正交投影“,大脑依然可以还原出实际三维物体的原因。

到此,理解了上面”类推法“和”投影法“这两个工具之后,我们再来尝试理解四维空间,将会容易很多,我们脑中也要时刻给自己提个问号,我看到的投影到底是什么投影?

超立方体

为了理解四维空间,我们可以尝试想象一下四维空间中最简单的形状——超立方体,是什么样子的。

四维空间不好想象,运用类推法,我们尝试从一维升到三维,看看升维的过程中到底发生了什么?然后再类推出四维空间中的超立方体是什么样子。请看下面这个从零维升到三维的动图。

前面说到,当我们看到一张投影图时,我们脑子中首先要想这到底是什么投影?前面提到过,这张图是三维空间到二维空间的一个正交投影。

可以看到,从二维升到三维的过程中,其实就是无数个二维平面堆积出来的。我们也可以这样理解,在第三个维度中,平行放置两个二维平面,然后将两个二维平面的四个顶点两两连接起来,就构成了三维空间中的立方体。那类推一下四维空间,我们是不是可以这样想象,在第四个维度上,平行放置两个三维立方体,然后将两个立方体的8个顶点两两连接起来,就构成了四维空间中的超立方体。如下图

我们还要再强调一下,我们在屏幕上看到的这个超立方体是什么投影呢?首先,是将四维空间正交投影到三维空间,然后再将三维空间正交投影到二维空间。

我们知道,三维空间中的立方体是由6个二维平面组合而成,那么四维空间中的超立方体由几个立方体组成呢?由于上图中正交投影连线中交叉点太多,在数立方体的时候非常不直观,在实际中,我们经常会换另外一种视图进行观察。

前面我们介绍过立方体的透视投影视图,也就是在第三个维度Z俯看X-Y平面时的透视效果。如下图,重新copy一遍。

运用类推法,如果我们在第四个维度W俯瞰X-Y-Z空间时得透视投影视图是什么样子的呢?如下图。

和将三维空间透视投影到二维平面一样,上图是四维空间透视投影到三维空间,然后再由三维空间正交投影到二维平面。有一点绕,但事实确实是这样的,两次投影的方式不一样。

从这个视图看,我们能容易的看到共有8个立方体胞。所以,超立方体又叫做”正八胞体“。注意到,四维空间的立方体经过投影到三维空间以后,不一定是标准立方体了。就和我们在二维空间看立方体表面一样,虽然在三维空间立方体的六个表面都是标准正方形,但经过正交投影以后,可能已经发生变形,这和四维空间投影到三维空间是一个道理。

于是我们可以补充上面那张升维的那张动图,看看从零维升到四维的视图是什么样子的。

到这里,我们看到的是四维空间首先一次投影到三维空间,再二次投影到二维平面上展现出来的形状。这个过程中,维度损失了两维,我们看到的也都只是四维物体基于某个特定视角的投影,可以说是管中窥豹。想通过想象还原回四维空间还是非常困难的。那我们如何通过三维空间的直观感受去想象四维空间呢?

二维纸片人

坦白说,任何能在纸面上呈现出来的四维空间,都不是真正的四维空间。四维空间中的第四维需要垂直于三维空间中的X-Y-Z,而生活在三维空间的人类根本找不到一个方向可以同时垂直于X-Y-Z,这也是人类为什么想象不出四维空间的原因。就如同生活在二维平面的纸片人,无法想象到会有垂直于纸片的一个方向正在以上帝视角俯瞰他。

前面说了,三维空间其实是无数个二维平面堆叠而成,处在二维平面的纸片人如果想要理解三维空间,就必须有能力穿越无数个平行的二维空间,然后看三维物体在每一个二维平面留下来的投影,通过留在每个二维平面上的投影来想象出三维物体,这是一个穿越空间的过程。当然,纸片人也可以待在属于自己的二维平面不动,让三维物体穿越纸片人所在的二维平面,穿越时留下的动态痕迹可以帮助纸片人想象出三维物体。

如果我们作为纸片人,如果可以通过二维平面上的轮廓想象出三维物体,那是不是就有可能通过四维物体留在三维空间中的轮廓来想象出四维物体呢?所以,作为三维世界的我们或许只能以这种方式去理解四维世界。

于是还是运用类推法,假设有一个纸片人生活在二维世界,有个三维立方体在空间中运动,穿越过我们纸片人所在的二维世界,三维物体与其相交的横截面会留在二维世界中。纸片人能做的,只能是通过二维平面的投影或者横截面来想象出三维物体的形状。我们来看下图。

图中右侧三维立方体穿过二维平面,左侧是穿越二维平面时横截面留下的轮廓。这时候纸片人会看到一个轮廓忽大忽小,从三角形变成多边形,凭空出现又凭空消失。

作为上帝视角的我们如果只观察到左侧二维图形的变化,可以想象到穿越二维平面的三维物体的形状吗?至少我感觉还是十分困难的,但有幸的这种穿越方式我们可以通过数学运算精确的算出三维物体的形状。但是对于纸片人来说,想要想象出三维形状,就非常的烧脑了。

同理,可以想象一下我们在三维空间中吹一个气球,气球从小到大,吹到最大的时候再慢慢撒气,气球慢慢变小。如果没有我们的嘴在控制,这个气球的变化过程其实就是一个四维球体穿越我们所在的三维空间中所留下来的痕迹。

还有一种方式可以帮助纸片人理解三维物体,就是三维物体不能静止,而是有规律的旋转,让三维物体的各个角度都能投影在二维平面,从而让纸片人观察到三维物体各个角度的投影,进而想象出三维物体的形状。

还是采用类推法,我们看看二维纸片人如何通过观察正交投影想象出三维物体的,如下图。

当立方体的表面和投射表面的夹角越小时,投影出来的四边形越大;反之亦然。我们貌似可以通过二维平面的轮廓想象出三维物体,那是因为我们处在上帝视角。对于纸片人来说,几条连接的四边形忽大忽小,甚至发生形变,完全超出他的想象的。

然后我们可以看一下超立方体在三维空间的投影,看看我们是否有能力想象出四维物体的形状?

可以看到,这时超立方体也就是正八胞体,它的每一个胞的三维形状都在变化,通过类比二维平面,我们可以得出当超立方体的一个立方体”表面“和投射的三维”表面“夹角变化时,投射出来的立方体体积也会发生变化。

为什么这里我只说了变化,没有说变大或变小。因为前面已经说过,脑中要时刻清醒看到的是什么投影。这里的超立方体首先进行的是四维到三维的透视投影,和三维立方体到二维平面的正交投影不同,是会呈现近大远小的效果的。也就是说有这么一种可能,虽然夹角小,但是离观察者的距离足够远时,这时大小会互相抵消,就需要看哪个影响因子更大了。

这是我处在三维世界的人所能尝试最大的努力去表示四维空间物体的形状,因为我实在找不到一个方向可以同时垂直于我们所处的空间X-Y-Z。我只能通过人类所能理解的三维空间投影去理解四维物体的形状。但是,有幸的是,我虽然不能想象出四维空间物体的形状,但是可以通过类推的方式,推出四维空间的一些特征;以及,如果我们人类处在四维空间中,会是一种什么样的奇妙体验。

四维空间

假设我们进入到四维空间,周边的世界会发生什么变化呢?

首先,如果不升级我们的大脑,站在第四维俯瞰三维空间时,会看到无数个三维空间堆叠在一起,一定会眩晕呕吐,需要提前准备好防眩晕的药。我们的家门上锁已经没有任何作用了,保险箱在四维空间中也暴露无遗。在四维空间中,封闭的三维物体如同一幅画一样,是不分内外的,完全暴露在四维空间中。我们可以通过调整第四维坐标,轻易的穿越三维空间的各个地方;穿墙术不再是魔术,我们可以沿着第四维轻轻一跳,就穿越了一堵墙。所以,房子得升级,保险箱也得换。要么不要用保险箱,要么购买一个四维保险箱吧。星际旅行将成为可能。由于光速的限制,我们如果想实现星际旅行,可能需要成千上万年,那是因为我们是在三维空间中考虑问题。试想,一个蚂蚁要从一张纸的一头爬到另外一头可能需要很长时间,但是如果我们把纸对折,让两个顶点重合,那么蚂蚁就可以在第三个维度瞬间到达另一端。在四维空间中也同理,我们可以把三维空间在第四维进行对折,通过第四维瞬间达到另外一端。我们把这个又叫做虫洞。但上面的所有都需要有一个前提,人类到了四维空间需要自动升级成四维物种。否则,如果还是一个三维人的话,我们是否还会继续活着?我们的内脏就会完全暴露在四维空间中,失去了基本的保护。不用说高维生物会不会来摧毁我们,就是四维空间中的尘埃,石子都会轻易的击中我们的肌肉、内脏和骨骼,让我们无法生存。在这个问题上,我不敢妄加断言。

最后,这篇文章并不能够帮助你想象出四维空间中物体的形状,事实上,这也是不可能的。前面已经多次提到,我们无法找到一个坐标轴,同时垂直于我们生活的X-Y-Z空间。而只是通过类推法和投影法,假设在四维空间中有一束光线能够打在四维物体上,最后投射到三维空间中呈现出来的样子,由此来理解四维空间所表现出来的低维特征。

这就好比我们一直在探求真理,但在严格意义上的真理是不可得到的,我们看到的都只是真理的外在表现。

最后,多图和长文不易,如果觉得对你有帮助,请帮忙点赞,谢谢~

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